أنواع الاقترانات
الاقتران هو علاقة تربط بين العناصر في مجال معين وعناصر في مجال آخر، حيث يرتبط كل عنصر في المجال الأول بعنصر واحد فقط في المجال المقابل. وبالتالي، فإن كل اقتران هو نوع من العلاقات، لكن ليس كل علاقة تعتبر اقترانًا. يمكن تصنيف الاقترانات إلى عدة أنواع، ومنها:
الاقتران الخطي
يُعرف الاقتران الخطي بأنه الاقتران الذي يحتوي على متغير واحد أو متغيرين مرفوعين للأس واحد. وتعبيره العام هو: ق(س) = أ س + ب، حيث أ و ب هما أعداد حقيقية، مع مراعاة أن أ لا تساوي صفر. يمكن تمثيل هذا الاقتران بيانيًا كخط مستقيم، حيث يكون في حالة زيادة إذا كانت قيمة الثابت (أ) أكبر من صفر، وفي حالة نقصان إذا كانت قيمة الثابت (أ) أقل من صفر.
الاقتران التربيعي
يعتبر الاقتران التربيعي نوعًا من الاقترانات كثير الحدود من الدرجة الثانية، وصيغته العامة هي: ق(س) = أ س² + ب س + ج، حيث أ و ب و ج أعداد حقيقية، بشرط أن أ لا تساوي صفر. المتغير (س) هنا مرفوع للأس 2. يتوفر على الاقتران التربيعي حلان، ويمكن تمثيله بيانيًا بمنحنى يشبه حذوة الحصان، حيث يكون المنحنى مفتوحًا لأعلى إذا كان معامل س² (أ) أكبر من صفر، ومفتوحًا لأسفل إذا كان معامل س² (أ) أقل من صفر.
كما يتقاطع المنحنى مع محور السينات في نقطتين، تُسمى هذه النقاط أصفار الاقتران التربيعي. يُستخدم هذا النوع من الاقترانات في التطبيقات الواقعية، مثل حساب الارتفاع المسموح به في تصميم الأنفاق.
الاقتران التكعيبي
هو اقتران كثير حدود من الدرجة الثالثة، ويُعبّر عنه بالصيغة العامة: ق(س) = أ س³ + ب س² + ج س + د، حيث أ و ب و ج و د أعداد حقيقية، مع مراعاة أن أ لا تساوي صفر. المجال والمدى لهذا الاقتران يشمل جميع الأعداد الحقيقية.
الاقتران المتشعب
يمثل الاقتران المتشعب اقترانًا يحتوي على أكثر من قاعدة، حيث تتباين مجالات هذه القواعد عن بعضها البعض، وتختلف المدى بناءً على شروط معينة. على سبيل المثال: ق(س) = { س² + 1، س >= 1 / س – 5، س < 1 }.
الاقتران العكسي
يتميز الاقتران العكسي بتبديل المجال والمدى؛ حيث يصبح المجال هو المدى والمدى يصبح هو المجال. يمكن التعبير عن هذا الاقتران بالصيغة ق⁻¹، كأن نقول مثلاً: ق = { (1،1)، (2،3)، (5،3) }، فإن ق⁻¹= { (1،1)، (3،2)، (3،5) }.
الاقتران المحايد
يُعرف الاقتران المحايد بأنه الاقتران الذي تكون فيه جميع عناصر المجال متساوية مع نظرائهم في المدى. يُكتب هذا النوع من الاقترانات على الصورة: ق(س) = س.
اقتران أكبر عدد صحيح
يعبّر عن اقتران أكبر عدد صحيح بالصيغة: ق(س) = [س]. يتميز هذا الاقتران بربطه بين قيم س وأكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي س. يُسمى أيضًا بالاقتران الدرجي، حيث يكون شكله البياني مشابها للدرجات، ويرمز له بالعلامة [ ].
اقتران القيمة المطلقة
يقوم اقتران القيمة المطلقة بتحويل قيمة س إلى قيمة موجبة دائمًا. تعبيره العام هو ق(س) = |س|، حيث أن القيمة المطلقة تمثل من خلال الرمزين | |، كأن نقول: |-أ| = أ و |أ| = أ. يشمل مجال اقتران القيمة المطلقة جميع الأعداد الحقيقية، بينما يشمل مداه جميع الأعداد الحقيقية التي تكون أكبر من أو تساوي صفر.
الاقتران الأُسي
يمكن التعبير عن الاقتران الأُسي بالصيغة: ق(س) = أ س، حيث أ لا تساوي 1 وأكبر من صفر. يُستخدم هذا النوع من الاقترانات في مجموعة متنوعة من التطبيقات الحياتية، مثل حساب عدد السكان خلال فترة زمنية معينة ومواضيع تضاعف الكمية في أطر زمنية ثابتة.
الاقتران اللوغاريتمي
تم اشتقاق الاقتران اللوغاريتمي من الاقتران الأُسي، حيث يعد اللوغاريتم معكوسًا للاقتران الأُسي. يُعبّر عنه بالصيغ التالية: ق(س) = لوگهس، حيث ه هو العدد النيبيري، أو بالصيغة ق(س) = لو10س. يتضمن مجال هذا الاقتران جميع الأعداد الحقيقية، بينما يشمل مداه جميع الأعداد الحقيقية التي تكون أكبر من صفر.
الاقتران المركب
ينتج الاقتران المركب نتيجة تركيب اثنين من الاقترانات، ويُعبّر عنه بالصورة التالية: (ق ه ه)(س) ويُقرأ كـ “ق بعد ه بالنسبة إلى س”.
الاقترانات المثلثية
تمثل الاقترانات المثلثية التي تحتوي في صيغتها على دوال الجيب (جا) وجيب التمام (جتا) والظل (ظا) والظتا (ظتا) والقاطع (قا) والقتا (قتا). مثال على ذلك: ق(س) = 3 جتا س.
الاقتران الثابت
يُعتبر الاقتران الثابت اقترانًا يتكون مداه من عنصر واحد فقط. يُعبّر عنه بالصورة ق(س) = ج، حيث ج تمثل عددًا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. يمتد مجاله ليشمل جميع الأعداد الحقيقية بينما المدَى يكون في ج.
يمكن تمثيل الاقتران الثابت بيانيًا كخط مستقيم أفقي يوازي محور السينات، ويبتعد عنه بمقدار الثابت ج. إذا كانت قيمة ج موجبة، يقع الخط أعلى محور السينات، أما إذا كانت قيمة ج سالبة، فيقع الخط أسفل محور السينات.
