الرسم البياني في الرياضيات، وبالتحديد في مجال نظرية الرسم البياني، هو عبارة عن بنية تتصل بمجموعة من الكائنات.
الرسم البياني
عادةً ما يتم تمثيل الرسم البياني (بالإنجليزية: Graph) من خلال رسم تخطيطي يمثل مجموعة من النقاط أو الدوائر التي تمثل الرؤوس، والتي ترتبط بخطوط أو منحنيات تمثل الحواف.
تعتبر الرسوم البيانية أحد المواضيع الأساسية في دراسة الرياضيات المنفصلة، ويمكن أن تكون الحواف موجهة أو غير موجهة.
على سبيل المثال
إذا تم تمثيل هذه الرؤوس كأشخاص في حفلة، فإن وجود حافة بين شخصين يدل على مصافحتهما.
بهذا الشكل، يعتبر الرسم البياني غير موجه، حيث يمكن لأي شخص “أ” أن يصافح الشخص “ب” فقط إذا قام “ب” أيضًا بمصافحة “أ”.
على النقيض من ذلك، إذا كانت الحافة بين الشخص “أ” والشخص “ب” تعبر عن إعجاب “أ” بـ “ب”، فسيكون هذا الرسم البياني موجهًا.
وذلك لأن الإعجاب لا يتطلب بالضرورة أن يكون متبادلاً، حيث يسمى النوع الأول من الرسم البياني الرسم البياني غير الموجه، بينما يسمى النوع الثاني الرسم البياني الموجه.
الرسوم البيانية
تعد العنصر الأساسي الذي تدرسه نظرية الرسم البياني، وتم استخدام مصطلح “الرسم البياني” بهذا المعنى لأول مرة بواسطة جيمس جوزيف سيلفستر في عام 1878م.
تعريف الرسم البياني وأنواعه
تتباين التعريفات في نظرية الرسم البياني؛ وفيما يلي بعض التعريفات الأساسية التي تصف الرسوم البيانية والهياكل الرياضية ذات الصلة:
الرسم البياني
الرسم البياني يُعرف على أنه زوج (G = (V، E حيث تمثل V مجموعة تُعرف عناصرها بالرؤوس (مفرد: قمة)، وE هي مجموعة من مجموعتين من الرؤوس تُدعى عناصرها الحواف (تعرف أحيانًا بالروابط أو الخطوط).
تُعتبر الرؤوس x وy في الحافة {x، y} نقاط النهاية، ويقال إن الحافة تربط x وy، ويمكن أن يكون الرأس غير منتمي لأي حافة.
الرسم البياني المتعدد
يمثل تعميمًا يسمح بوجود حواف متعددة تربط نفس زوج من النقاط. وفي بعض الأحيان، تُعرف الرسوم البيانية المتعددة ببساطة باسم الرسوم البيانية.
في بعض الحالات، يُسمح للرسوم البيانية بوجود حلقات، وهي حواف تربط الرأس بنفسه، مما يعني أنه يجب تعديل التعريف ليصبح الحواف مجموعات متعددة من رأسين بدلاً من مجموعتين.
تُعرف هذه الرسوم البيانية العامة باسم الرسوم البيانية ذات الحلقات عندما يكون واضحًا من السياق أن الحلقات مسموح بها.
الرسم البياني الفارغ
الرسم البياني الفارغ هو رسم يحتوي على مجموعة فارغة من الرؤوس (وبالتالي مجموعة فارغة من الحواف).
ترتيب الرسم البياني هو عدد الرؤوس | V |، وحجم الرسم البياني هو عدد حوافه | E |. ومع ذلك، في بعض السياقات، مثل حساب التعقيد الحسابي للخوارزميات، يُحتسب الحجم كـ | V | + | E |، بينما يمكن للرسم البياني غير الفارغ أن يصل حجمه إلى 0.
تُعرف درجة الرأس أو تكافؤه بعدد الحواف الملاسقة له، وبالنسبة للرسوم البيانية التي تحتوي على حلقات، يتم احتساب الحلقة مرتين.
الرسم البياني الموجه
الرسم البياني الموجه هو نوع من الرسوم البيانية حيث تتمتع الحواف باتجاهات، وهو يُعرف بشكل دقيق على أنه زوج مرتب (G = (V، E يتألف من:
- مجموعة V من الرؤوس (والتي تُعرف أيضًا بالعقد أو النقاط)، ومجموعة من الحواف.
- البند الثاني، الحواف الموجهة (أو الروابط الموجهة، أو الخطوط الموجهة، أو الأسهم). تتكون من أزواج مرتبة من الرؤوس، مما يعني أن الحافة ترتبط برأسين مميزين.
الرسم البياني المختلط
الرسم البياني المختلط هو رسم بياني يمكن أن يكون فيه بعض الحواف موجهة، بينما يمكن أن تكون أخريات غير موجهة. يتم تمثيله كزوج مرتب (G = (V، E، A لرسم بياني بسيط مختلط، بينما يتضمن (G = (V، E، A، ϕE، ϕA لرسم متعدد مختلط مع E (الحواف غير الموجهة)، A (الحواف الموجهة).
الرسم البياني الموزون
الرسم البياني الموزون، المعروف أيضًا بالشبكة، هو رسم يتم فيه تعيين قيمة عددية (وزن) لكل حافة.
تمثل هذه الأوزان تكاليف أو أطوال أو قدرات، اعتمادًا على الإعداد المتعلق بالمشكلة المطروحة.
تظهر هذه الرسوم في سياقات متعددة، مثل في حل مشاكل الطريق الأقصر، مثل مشكلة البائع المتجول.
أنواع الرسم البياني
الرسم البياني الموجه
- الرسم البياني الموجه يمكن أن يتضمن أحد الاتجاهات (x، y) و(x، y) كأقصى اختلاف من حواف الرسم البياني P، مما يعني أنه يمكن بناء الرسم البياني الموجه كاتجاه لرسم غير موجه.
الرسم البياني المنتظم
- الرسم البياني المنتظم هو نوع من الرسوم البيانية حيث يمتلك كل رأس نفس عدد الجيران، مما يعني أن كل رأس له نفس الدرجة.
- يدعى أيضًا الرسم البياني المنتظم برؤوس الدرجة k بالرسم البياني المنتظم k‑.
الرسم البياني الكامل
- الرسم البياني الكامل هو الرسم الذي يتم فيه وصل كل زوج من الرؤوس بحافة، مما يعني أنه يحتوي على جميع الحواف الممكنة.
الرسم البياني المحدود
- الرسم البياني المحدود هو ذلك الذي تكون فيه مجموعة الرؤوس ومجموعة الحواف مجموعات محدودة، خلاف ذلك يعرف بالرسم البياني اللانهائي.
الرسم البياني المتصل
- في الرسم البياني غير الموجه، يُعتبر الزوج غير المرتب من الرؤوس {x، y} متصلًا إذا كان هناك مسار يمتد من x إلى y، وإلا فإنه يُسمى غير متصل. الرسم البياني المتصل هو الذي يتم فيهوص Detectivepoint पहुंचे påுவத्ኖஔஒனத்அிٹھ בהרא נתפאַר يرופי .
تابع أيضًا:
ومن الأنواع الأخرى
- الرسم البياني الثنائي.
- الرسم البياني للمسار.
- الرسم البياني المستوي.
- الرسم البياني للدورة.
خصائص الرسوم البيانية
- تُسمى حافتا الرسم البياني متجاورتان إذا كانتا تشتركان برأس مشترك.
- تُعرف الرسوم البيانية التي تحتوي على تسميات ملحقة بالحواف أو الرؤوس بأنها مصنفة.
- فئة جميع الرسوم البيانية تُعتبر فئة الشرائح Set ↓ D حيث D: Set → Set هي عملية تأخذ مجموعة s إلى s × s.
أمثلة
- الرسم البياني كمثال يمثل الرسم التخطيطي للرسم البياني ذي الرؤوس {V= {1, 2, 3, 4, 5, 6 والحواف {{E= {{1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 4}, {4, 5}, {4, 6.
- تحدد العلاقة الثنائية R على مجموعة X رسمًا بيانيًا موجهًا، مع تعريف العنصر x في X كأصل مباشر للعنصر y في X إذا وفقط إذا كان xRy.
- يمكن تشكيل الرسم البياني الموجه لنمذجة الشبكات المعلوماتية مثل تويتر، حيث يُتابع مستخدم واحد الآخر.
- أمثلة مميزة أخرى للرسوم البيانية المنتظمة تقدمها رسومات كايلي للمجموعات، التي تم إنشاؤها تحديدًا.
- في نظرية الفئة، تحتوي كل فئة صغيرة على رسم بياني متعدد موجه حيث تكون رؤوسه كائنات الفئة، بينما تمثل الحواف أسهم الفئة، في سياق نظرية التصنيف.
التعميمات
- في الرسم البياني التشعبي، يمكن أن تمتد الحافة إلى أكثر من رأسين.
- يمكن اعتبار الرسم البياني غير الموجه بمثابة مجمع بسيط يتكون من 1 مبسطة (حواف)، و0 مبسطة (رؤوس)، وبالتالي فإن المجمعات تعتبر تعميمات الرسوم البيانية لأنها تسمح بتبسيط أبعاد أعلى.
- كل رسم بياني يمكن أن يؤدي إلى ماتيود.
- في نظرية النموذج، يُعتبر الرسم البياني مجرد بنية، ولكن في هذه الحالة، لا توجد قيود على عدد الحواف؛ يمكن أن يكون أي عدد بشكل أساسي.
- كذلك في علم الأحياء الحسابي، يقدم تحليل الرسوم البيانية للطاقة رسومات بديلة للرسوم البيانية غير الموجهة.
- في أنظمة المعلومات الجغرافية، يتم نمذجة الشبكات الهندسية على نحو وثيق وفقًا للرسوم البيانية.
- تستعير العديد من المفاهيم من نظرية الرسم البياني من أجل التحليل المكاني على شبكات الطرق أو شبكات المرافق.
تابع أيضًا:
