أهمية ترتيب العمليات الحسابية في الرياضيات

تُعتبر أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات من المفاهيم الأساسية التي تساعد على تجنب الارتباك في الحلول. إذا طُلب منك تبسيط تعبير مثل “4 + 2 × 3″، فإن السؤال الذي يبرز هو: كيف يمكنني تحقيق ذلك؟ فهنا، هناك خياران مختلفان للتعامل مع هذه العملية!

ترتيب العمليات الحسابية

تبدو الإجابة مرتبطة بالكيفية التي تُفكر بها في المسألة، لكن في الرياضيات لا يمكننا أن نكون مرنين إلى هذا الحد. لن تكون النتائج صحيحة إذا لم نكن متأكدين من الإجابة، أو إذا كانت نفس التعبير يعطي قيمتين مختلفتين.

لذلك، وللتخلص من أي ارتباك، تم وضع عدد من القواعد التي تحدد أولوية العمليات الحسابية. هذه القواعد معروفة منذ القرن السادس عشر وتعرف بتسمية “ترتيب العمليات”، حيث تشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة والأس.

ترتيب هذه العمليات هو كما يلي: “الأقواس، الأس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح”.

يمكن شرح هذا بكلمات أخرى: أن الأقواس تأتي أولاً، تليها الأسس، التي تأتي بدورها قبل الضرب والقسمة (حيث يعامل كل من الضرب والقسمة بشكل متساوٍ)، وفي الأسفل يأتي الجمع والطرح (أيضًا بالتساوي). لذا، يمكن تلخيص الأولويات كالتالي:

• الأقواس (تتضمن تبسيط الأرقام داخل الأقواس).
• الأس.
• الضرب والقسمة (من اليمين إلى اليسار عند استخدام الأرقام العربية، ومن اليسار إلى اليمين عند استخدام الأرقام الإنجليزية).
• الجمع والطرح (بنفس المنهج المذكور أعلاه).

تابع القراءة:

اتجاه حل المسائل

عندما تواجه مجموعة من العمليات الحسابية من نفس المستوى، يجب عليك العمل من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال، “15 ÷ 3 × 4″ ليست ” (15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4″، بل تعني “15 ÷ (3 × 4) = 15 ÷ 12”.

السبب هو أن القسمة تمت أولاً عند الانتقال من اليسار إلى اليمين. إذا كنت في شك، يمكنك اختبار ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، التي تتم برمجتها وفقًا لترتيب العمليات.

عند إدخال التعبير المذكور أعلاه في آلة حاسبة بيانية، ستحصل على:

  20 = 15 ÷ 3 × 4

وبما أننا اتبعنا التسلسل الهرمي المذكور سابقاً، فإن السؤال “4 + 2 × 3” الذي تم طرحه في بداية المقالة، كانت الإجابة الصحيحة هي الاختيار الثاني (10)، لأن علينا تنفيذ عملية الضرب قبل إجراء عملية الجمع.

أهمية ترتيب العمليات الرياضية

تم تحديد ترتيب العمليات لتفادي أي سوء فهم، إلا أن نظام PEMDAS قد يتسبب في ارتباك بنفسه. يميل بعض الطلاب أحيانًا إلى تطبيق ترتيب العمليات كما لو كانت جميعها بنفس “المستوى”، مما قد يؤدي إلى أخطاء.

كثيرًا ما يكون من الأفضل حل المشكلات من الداخل إلى الخارج بدلاً من اليسار إلى اليمين، لأن بعض أجزاء التمرين قد تكون “أعمق” من غيرها. قد يكون من المفيد توضيح ذلك من خلال بعض الأمثلة:

• بسّط المقدار: 32 + 4

الحل: في هذا المثال، يجب تبسيط القيم أولًا باستخدام الأس قبل محاولة إضافة العدد 4، ويمكن وصف ذلك كالتالي:

13 = 9 + 4  = 32 + 4، وبالتالي القيمة المبسطة هي 13.

مثال

• بسّط المقدار: 2(1 + 2) + 4

الحل: في هذه الحالة، يجب تبسيط الأعداد داخل الأقواس أولًا قبل إجراء عملية التربيع.

فقط بعد ذلك، يمكننا إضافة العدد 4. يمكن وصف ذلك كما يلي:

13 = 2(3) + 4 = 2(1 + 2) + 4، وبالتالي القيمة المبسطة هي 13.

مثال آخر

• بسّط المقدار: 2 [(1 – 2-) 1-] + 4

لا ينبغي محاولة حل الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين، لأن ذلك قد يؤدي إلى أخطاء. بدلاً من ذلك، يجب العمل من الداخل إلى الخارج، حيث نقوم بتبسيط الأعداد الموجودة في الأقواس المتعرجة أولاً.

ثم نتابع بتبسيط ما بداخل الأقواس المربعة، وبعد ذلك نتعامل مع عملية التربيع.

في النهاية، يمكننا إضافة العدد 4، ويمكن توضيح ذلك كما يلي:

2 [(1 – 2-) 1-] + 4

2[(3-) 1-] + 4 =

2[3] + 4 =

9 + 4 =

13 =

لا توجد ضرورة خاصة لاستخدام الأقواس المربعة (“[ “و “]” أعلاه) بدلاً من الأقواس، حيث يمكن استخدام الأقواس المعقوفة والأقواس المتعرجة (“{ و }”) عند وجود أقواس متداخلة لسهولة تتبع كل نوع.

أيضًا، يُستخدم تنسيق الأقواس المختلفة للراحة فقط، على غرار ما يحدث في جداول البيانات مثل Excel عند إدخال الصيغ.

مثال

• بسّط المقدار: (4/3 + 2/3-) 4

الحل: سنقوم بتبسيط الأعداد الموجودة داخل الأقواس أولًا، مما يمكن أن يُوضح كالتالي:

(4/3 + 2/3-) 4

أيضًا (3 / 4 + 2-) 4 =

(3 / 2) 4 =

3 / 8 =

النتيجة هي أن القيمة المبسطة هي 3 / 8.

المشاكل المتعلقة بالتبسيط

تُعتبر غالبية المشاكل المتعلقة بالتبسيط باستخدام ترتيب العمليات نتيجة للأقواس المتداخلة والأس وعلامات الطرح. لذا سنقوم في الأمثلة التالية بشرح كيفية التعامل مع هذه الأنماط من التعبيرات.

مثال

• بسّط المقدار: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

الحل: سنقوم بتبسيط المقدار من الداخل إلى الخارج: بدايةً، الأقواس، ثم الأقواس المربعة، مع مراعاة أن علامة “الطرح” على 3 أمام الأقواس تعبر عن 3.

بعد الانتهاء من تجميع الأجزاء، نقوم بعملية القسمة ومن ثم نجمع العدد 4، ويمكن توضيح ذلك كالتالي:

2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

2 ÷ [(3) 2 – 4] 3 – 4 =

أيضًا 2 ÷ [6 – 4] 3 – 4 =

بينما 2 ÷ [2-] 3 – 4 =

كما 2 ÷ 6 + 4 =

وبذلك، فإن القيمة المبسطة هي 7.

مثال آخر

• بسّط المقدار: 5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16

الحل: يجب أن تتذكر أنه يجب تبسيط ما بداخل الأقواس قبل القيام بعملية التربيع.

لأن 2(3 – 8) تختلف عن 32 – 82، ويمكن توضيح ذلك كما يلي:

5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16

= 5 ÷ 2(5) 3 – 16 =

= 5 ÷ (25) 3 – 16 =

= 5 ÷ 75 – 16 =

وبذلك نجد 15 – 16 =

النتيجة هي 1.

المتغيرات في العمليات الحسابية

إذا كنت قد درست المتغيرات وجمع المصطلحات، فقد تواجه أيضًا تمارين من هذا النوع:

• بسّط المقدار: [(14x + 5 [6 – (2x + 3)]

الحل: إذا واجهت صعوبة في التعامل مع عملية الطرح من خلال الأقواس، يمكنك تحويلها إلى ضرب سالب 1 في الأقواس (لاحظ اللون الأحمر المميز “1” أدناه):

[(14x + 5 [6 – (2x + 3)]

أيضًا [(14x + 5[6 – 1(2x + 3) =

[14x + 5[6 – 2x – 3 =

وبذلك، يساوي [14x + 5[3 – 2x =

4x + 15 =

وتكون القيمة المبسطة هي 4x + 15.

مثال

• بسّط المقدار: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x}

الحل: يجب عليك تذكر أهمية التبسيط في كل خطوة، وكذلك جمع المصطلحات المتشابهة عندما يكون ذلك ممكنًا:

{2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =

كذلك 2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =

{2x – 1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =

{2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =

{2x + 1 – 3x + 6x} – =

{2x + 6x – 3x + 1} – =

وبالتالي، تكون النتيجة {5x + 1} – =