تعتبر المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية أساسية لفهم العديد من الظواهر في مجالات الفيزياء والهندسة، وكذلك في ميادين حياتية أخرى مثل دراسة حركة السيارات وسير المركبات على سطح الماء. في هذا المقال، سنستعرض كيفية حل تلك المعادلات التفاضلية غير المتجانسة.
أساليب حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية
لقد ساعدت المعادلات التفاضلية في تطوير علوم الهندسة، بالإضافة إلى التحليل الرياضي. وقد توسعت استخداماتها لتشمل مجالات علمية متعددة وتطبيقاتها. فيما يلي بعض الطرق لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية:
على سبيل المثال: x² y” + xy’ + y = 2
توجد عدة طرق لحل هذه المعادلة، لكن الحل العام لها هو:
y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + التكامل الجزئي
نبدأ بحل المعادلة كما لو كانت معادلة تفاضلية متجانسة، ثم نبحث عن التكامل الجزئي الذي يعبر عن الدالة الموجودة في الطرف الأيمن. لنأخذ مثالاً على معادلة تفاضلية متجانسة:
y” + 3y’ – 4y = 0
الحل: نفترض أن y = e^rx، والصحيح هو: y = C e^rx
يفضل تأخير الثابت C في نهاية الحل لتجنب العوائق، بحيث يظل C كما هو في المشتقة أو التكامل. كمثال: مشتقة 2x في المشتقة تساوي 2، أو أن مشتقة 2e^x تبقى كما هي.
لنفرض أن y = e^rx حيث أن r هو عدد حقيقي ثابت. وبالتالي نجد المشتقة الأولى والثانية كالتالي: y’ = re^rx و y” = r² e^rx.
عند التعويض في المعادلة y” + 3y’ – 4y = 0، نحصل على:
r² e^rx + 3re^rx – 4e^rx = 0
لنجعل e^rx عامل مشترك: e^rx [r² + 3r – 4] = 0
وبما أن e^rx = 0 غير صحيح، نأخذ الحل الثاني r² + 3r – 4 = 0.
نستخدم طريقة التحليل أو القانون العام ll (r + 4)(r – 1) = 0 لنجد أن r = 1 أو r = -4.
وبالتالي، فإن الحلول الممكنة للمعادلة السابقة هي:
y = c1 e^x أو y = c2 e^-4x
حيث c1 وc2 ثوابت. وقد تم إثبات أن الحلين يشكلان تركيبًا خطيًا، مما يعني أن مجموع الحلين يمثل حلاً للمعادلة، لذا فإن الحل العام هو:
y = c1 e^x + c2 e^-4x
بشكل عام، الحل العام للمعادلة التفاضلية y” + ay’ + by = 0 يكون:
y = c1 e^r1x + c2 e^r2x
حيث أن r1 وr2 هما جذور المعادلة r² + ar + b = 0.
المعادلات التي تأخذ الشكل التالي y” + ay’ + by = Q(x) هي:
الحل العام لها هو حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية:
y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + التكامل الجزئي
المعادلة التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية
المعادلة التفاضلية غير المتجانسة هي تلك المعادلة التي لا تساوي الطرف الأيمن من المعادلة صفرًا. على سبيل المثال:
ص” + 4y’ + 4y = 5x² + 3x
الحل: نفترض أن ص = ش(س)الخامس(س) حيث u(x) وv(x) هما دالتان غير معروفتين. عند التعويض في المعادلة نحصل على:
u”v + 2u’v’ + uv” + 4u’v + 4uv’ + 4uv = 5x² + 3x
بعد التبسيط والتجميع، نصل إلى: v(u” + 4u’ + 4u) + u(v” + 2v’ + 4v) = 5x² + 3x
الفروق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة
يظهر الفرق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة في أن أحد الأطراف، سواء كان في يمين المساواة أو يساره، يجب أن يُعادل صفرًا. بمعنى آخر، يجب أن يكون الحد الثابت مساويًا للصفر.
بينما في المعادلة التفاضلية غير المتجانسة، يتوجب وجود اقتران غير صفري، أي لا يساوي صفرًا على كلا جانبي المساواة.
عند حل المعادلة التفاضلية غير المتجانسة، تكون الحلول عبارة عن حل المعادلة المتجانسة بالإضافة إلى حل المعادلة غير المتجانسة. على الرغم من أن المعادة التفاضلية غير المتجانسة تشبه إلى حد بعيد المعادلة المتجانسة، إلا أن الاختلاف الرئيسي يكمن في وجود حد إضافي يختلف عن المتغيرات الموجودة في مشتقات الاقتران.
في ختام هذا المقال، قمنا باستعراض طرق حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية، والتي يتم استخدامها في مجالات الرياضيات، الفيزياء، والهندسة، فضلًا عن تطبيقاتها في شبكات الهواتف المحمولة والأبحاث العلمية.
